用語

最も効率のよい四角形

突然ですが問題です。

2辺の長さがa,bで面積がAの長方形がある。この外周の長さが最小となるa,bの値を求めよ。

 

a,bの長さに関係なく、面積が一定なら外周の長さも同じような気もしますが、正解はa=b=√A、 要するに正方形です。建築にあてはめて考えてみると、屋根勾配がないハコ型の建物なら、正方形の平面形状にすると最も表面積が少なくて済み効率的、というになります。

建築のローコスト化については延べ床面積の大きさばかり問題になりますが、実は表面積の大きさもかなり大きな要因です。敷地の形や方角、接道条件、法規制など、複雑な条件が関係しますので一概には言えませんが、あまり細い建物にすると同じ床面積でもコストが上がる方向、ということになります。細長い建築ほどデザイン的には面白いものをつくりやすいので、設計する側としても悩ましいところです。

 

【高校生並み証明】

A=abよりb=A/a
外周長さは
2a+2b=2a+2(A/a)
=2(a+A/a)
相加平均・相乗平均の関係より
a+A/a≧2√(a・A/a)
⇔a+A/a≧2√A
等号成立はa=A/aの時⇔a=√Aのとき (このときb=√A)
よって外周長さ
2a+2b≧4√A
最小となるときのa=b=√A

こんなもんでしょうか。。